Паходзіў з Уладзіміра Валынскага, з мяшчанскай сям’і. Нарадзіўся каля 1580 года. Юнаком па жаданні бацькоў накіраваўся ў Вільню, каб авалодаць прафесіяй купца. У Вільні ён сутыкнуўся з руплівымі духоўнікамі і ўключыўся ў інтэнсіўнае жыццё і справы маладой уніі. У 1604 годзе прыняў базыліянскі хабіт, а пазней — пасвячэнні пераддыяканату і дыяканату. Адначасова распачаў тэалагічнае служэнне, а ў 1609 годзе прыняў святарскія пасвячэнні і быў прызначаны апекуном навіцыяту.
У гэты час ён ужо апынуўся на першай лініі барацьбы, якая завязалася паміж абаронцамі і праціўнікамі уніі. Дзякуючы сваёй стараннасці быў празваны «душахватам». Настаяцелі давяралі яму новыя, усё больш адказныя пасады і працу. У 1613 годзе быў прызначаны архімандрытам у касцёле Найсвяцейшай Тройцы ў Вільні, а ў 1617 годзе атрымаў прызначэнне на месца полацкага каад’ютара. Неўзабаве памёр бродніцкі арцыбіскуп, і Язафат прыняў кіраванне на тэрыторыі велізарнай дыяцэзіі. Дзякуючы стараннаму служэнню было шмат навяртанняў, але ўсё больш з’яўлялася праціўнікаў яго дзейнасці, якімі кіраваў Мялецій Сматрыцкі.
Падчас візіту арцыбіскупа Язафата Кунцэвіча на сейм у Варшаву на тэрыторыі яго дыяцэзіі пачаліся хваляванні. Пасля вяртання з Варшавы, у часе аднаго з такіх хваляванняў 12 лістапада 1623 г. у Віцебску, дайшло да дэманстрацыі перад яго домам. Калі арцыбіскуп выйшаў, каб супакоіць натоўп, два чалавекі напалі на яго, а іншы дабіў яго стрэламі ў галаву. Цела арцыбіскупа ўтапілі ў Дзвіне. Беатыфікацыю здзейсніў Папа Урбан VIII у 1642 г., а кананізацыю — Папа Пій XI у 1867 г. Рэліквіі, знойдзеныя ў 1916 г. у Белай Падляскай, былі перавезены ў Вену, а потым — у базыліку св. Пятра ў Рыме, дзе і захоўваюцца. Святы Язафат Кунцэвіч з’яўляецца галоўным апекуном Віцебскай дыяцэзіі.
